Propiedades de la varianza
1 La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.
2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía.
3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicho número.
4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular la varianza total.
Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:
Si las muestras tienen distinto tamaño:
Calcular la varianza de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
ESPERANZA
La esperanza matemática o valor esperado de una variable aleatoria discreta es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso.
Los nombre de esperanza matemática y valor hacen referencia a la ganancia promedio esperada por un jugador cuando hace un gran número de apuestas.
Si la esperanza matemática es cero,E(x) = 0, el juego es equitativo, es decir, no existe ventaja ni para el jugador ni para la banca.
Ejemplos
Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000 € ó un segundo premio de 2000 € con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta?
E(x) = 5000 · 0.001 + 2000 · 0.003 = 11 €
Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 € si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 € si no aparece cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable.
E = {(c,c);(c,x);(x,c);(x,x)}
p(+1) = 2/4
p(+2) = 1/4
p(−5) = 1/4
E(x)= 1 · 2/4 + 2 · 1/4 - 5 · 1/4 = −1/4. Es desfavorable
Desviación estándar
La desviación típica es la raíz cuadrada (positiva) de la varianza, es el parámetro de dispersión más utilizado.
La calculamos:
Utilizando habitualmente la segunda fórmula, llamada "reducida" de más fácil manejo.
Utilizando habitualmente la segunda fórmula, llamada "reducida" de más fácil manejo.
- Si sumamos una constante a todos los valores de la distribución la desviación típica no varía.
- Si multiplicamos todos los valores por la misma cantidad la desviación típica queda multiplicada por esa cantidad.
